Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=

1

5

，且对任意正整数mn都有a_m+n=a_m•a_n．若S_n＜t恒成立，则实数t的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得此数列是首项为

1

5

，公比为

1

5

的等比数列，从而S_n=

1- 1 5n

4

，由S_n＜t恒成立，得

lim

n→∞

Sn＜t，再由

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

1- 1 5n

4

=

1

4

，能求出t的最小值．

解答： 解：∵a₁=

1

5

，且对任意正整数mn都有a_m+n=a_m•a_n，
∴令m=1，n=1，得到a₂=a₁²=

1

25

，
同理令m=2，n=1，得到a₃=a₂•a₁=

1

125

，
∴此数列是首项为

1

5

，公比为

1

5

的等比数列，
则S_n=

1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

=

1- 1 5n

4

，
∵S_n＜t恒成立，∴

lim

n→∞

Sn＜t，
∵

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

1- 1 5n

4

=

1

4

，
∴t≥

1

4

，∴t的最小值为

1

4

．
故答案为：

1

4

．

点评：本题考查实数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意无穷递缩等比数列的性质和极限知识的合理运用．