Question

设函数f（x）=

2x+a，x＞2 x+a2，x≤2

，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：f（x）是分段函数，在每一区间内求f（x）的取值范围，再求它们的并集得出值域；由f（x）的值域为R，得出a的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=

2x+a，x＞2 x+a2，x≤2

，
当x＞2时，f（x）=2^x+a，在（2，+∞）上为增函数，f（x）∈（4+a，+∞）；
当x≤2时，f（x）=x+a²，在（-∞，2]上为增函数，f（x）∈（-∞，2+a²]；
若f（x）的值域为R，则（-∞，2+a²]∪（4+a，+∞）=R，
则2+a²≥4+a，
即a²-a-2≥0
解得a≤-1，或a≥2，
则实数a的取值范围是（-∞，-1]∪[2，+∞）．
故答案为：（-∞，-1]∪[2，+∞）．

点评：本题考查了分段函数的值域问题和分类讨论的数学思想，分段函数的值域是在区间内求出函数的取值范围，再求它们的并集即得出值域．