Question

已知锐角△ABC，函数f（x）=（sinA-cosB）x²-（sinB-cosA）x+sinC，x∈R，如果对于任意的实数x都有f（1-x）=f（x）．有下列结论：①f（0）＞f（

1

2

）；②△ABC为等边三角形；③f（x）有最大值；④f（x）的最小值的取值范围是（-

1

4

，1）．上述结论中，正确结论的序号为（　　）

• A、①③
• B、①④
• C、②③
• D、②④

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：由题意得二次函数的对称轴为x=

1

2

，又△ABC为锐角三角形，并且A+B＞

π

2

，有sinA-cosB＞0，得对称轴为：x=0.5，可得①正确，③错误；排除A，C选项．由二次函数对称轴x=

1

2

=

sinB-cosA

2(sinA-cosB)

，整理得A=B或A+B=

π

2

；故②错误；排除D选项即可得解．

解答： 解：由题意对于任意的实数x都有f（1-x）=f（x），
则二次函数函数的对称轴为x=

1

2

，
又△ABC为锐角三角形，并且A+B＞

π

2

，即A＞

π

2

-B，
所以sinA＞sin（

π

2

-B）=cosB，
所以sinA-cosB＞0，
所以二次函数开口向上，对称轴为：x=0.5，所以①正确，③错误；排除A，C选项．
由二次函数对称轴x=

1

2

=

sinB-cosA

2(sinA-cosB)

，
所以sinB-cosA=sinA-cosB，
所以sinB+cosB=sinA+cosA，平方整理得sin2B=sin2A，所以A=B或A+B=

π

2

；故②错误；排除D选项．
故选：B．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，考查了二次函数的图象和性质，属于中档题．