Question

设b＞0，a≠0，若函数f（x）=

ax2+bx

的定义域与值域相等，则a=

 

．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，
故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．

解答： 解：若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为D=（-∞，-

b

a

）∪（0，+∞），
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为 D=[0，-

b

a

]．
由于此时f（x）_max=f（-

b

a

）]=f（-

b

2a

）=

b

2 -a

，
故函数的值域 A=[0，

b

2 -a

]．
由题意，有-

b

a

=

b

2 -a

，由于b＞0，所以a=-4．
若a=0，则对于每个正数b，f（x）=

bx

的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件．
故答案为：-4或0．

点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数的值域，二次函数的图象和性质，其中熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答本题的关键．