Question

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点（

5

2

，a）到焦点F的距离为3，圆E是以（p，0）为圆心p为半径的圆．
（1）求抛物线C和圆E的方程；
（2）若圆E内切于△PQR，其中Q，R在y轴上，且R点在Q点上方，P在抛物线C上且在x轴下方，当△PQR的面积取最小值时，求直线PR和PQ的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点（

5

2

，a）到焦点F的距离为3，可得

p

2

+

5

2

=3，解得p，即可得出抛物线C和圆E的方程；
（2）设P（x₀，y₀），R（0，y₁），Q（0，y₂），y₁＞y₂，则直线PR的方程为：y=

y0-y1

x0

x+y₁．由直线与圆相切的性质可得：

|y0-y1+x0y1|

(y0-y1)2+ x 2 0

=1，注意到x₀＞2，上式化简为(x0-2)

y

2 1

+2y₀y₁-x₀=0，同理可得(x0-2)

y

2 2

+2y0y2-x0=0．因此y₁，y₂ 是方程(x0-2)y2+2y0y-x₀=0的两个根，可得|y₁-y₂|=

2x0

x0-2

．因此S_△PQR=

1

2

×

2x0

x0-2

×x₀=(x0-2)+

4

x0-2

+4利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点（

5

2

，a）到焦点F的距离为3，
∴

p

2

+

5

2

=3，解得p=1．
∴抛物线C：y²=2x，
圆E：（x-1）²+y²=1．
（2）设P（x₀，y₀），R（0，y₁），Q（0，y₂），y₁＞y₂，则直线PR的方程为：y=

y0-y1

x0

x+y₁．
由直线与圆相切得：

|y0-y1+x0y1|

(y0-y1)2+ x 2 0

=1，
注意到x₀＞2，上式化简为(x0-2)

y

2 1

+2y₀y₁-x₀=0，
同理可得(x0-2)

y

2 2

+2y0y2-x0=0．
∴y₁，y₂ 是方程(x0-2)y2+2y0y-x₀=0的两个根，
∴|y₁-y₂|=

△

x0-2

=

2x0

x0-2

．
∴S_△PQR=

1

2

×

2x0

x0-2

×x₀=

x 2 0

x0-2

=(x0-2)+

4

x0-2

+4≥8，当且仅当x₀=4时，S_△PQR有最小值为8．
此时，P(4，-2

2

)，y_1，2=

2

±2．
∴直线PR的方程是y=

3 2 +2

4

x+

2

+2．
直线PQ的方程是y=-

3 2 -2

4

x+

2

-2．

点评：本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．