Question

过双曲线

x2

3

-y²=1的两焦点作实轴的垂线，分别与渐近线交于A、B、C、D四点．则矩形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和渐近线方程，令x=2，x=-2求得矩形的顶点坐标，求出矩形ABCD的相邻两边长，即可得到所求面积．

解答： 解：双曲线

x2

3

-y²=1的a=

3

，b=1，c=

a2+b2

=2，
则双曲线的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），
渐近线方程为y=±

3

3

x，
令x=-2，可得y=±

2 3

3

；令x=2，可得y=±

2 3

3

．
则有A（-2，

2 3

3

），B（-2，-

2 3

3

），C（2，-

2 3

3

），D（2，

2 3

3

），
则矩形ABCD的面积为|AB|•|BC|=

4 3

3

×4=

16 3

3

．
故答案为：

16 3

3

．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，求出矩形的顶点坐标是解题的关键．