Question

设α、β、γ均为锐角，cosα²+cosβ²+cosγ²+2cosαcosβcosγ=1，求证：α+β+γ=π．

Answer 1

考点：三角函数恒等式的证明

专题：证明题,三角函数的求值

分析：令 x=cosα，y=cosβ，z=cosγ，则由已知可得一元二次方程f（z）=z²+2xyz+（x²+y²-1）=0，又 x，y，z＞0，可解得z=-xy+

(1-x2)(1-y2)

=cos（π-α-β），即 cos（π-α-β）=cosγ＞0．又π-α-β 属于（0，π），即可解得：π-α-β=γ，从而得解α+β+γ=π，即可得证．

解答： 证明：令 x=cosα，y=cosβ，z=cosγ，
则 x²+y²+z²+2xyz=1．（1）
又因为 α，β，γ 是锐角，
所以 x，y，z属于（0，1）．
由（1）得：f（z）=z²+2xyz+（x²+y²-1）=0．
所以：△=4x²y²-4（x²+y²-1）=4 （1-x²）（1-y²）．
又因为 1-x²＞0，1-y²＞0，
所以 z₁=-xy+

(1-x2)(1-y2)

，z₂=-xy-

(1-x2)(1-y2)

．
又因为 x，y，z＞0，
所以 z=-xy+

(1-x2)(1-y2)

=-cosα cosβ+sinα sinβ
=-cos（α+β）
=cos（π-α-β）．
即 cos（π-α-β）=cosγ＞0．
又因为 π-α-β 属于（0，π），
所以 π-α-β=γ．
即 α+β+γ=π．得证．

点评：本题主要考查了一元二次方程的解法，考查了三角函数恒等式的证明，综合性强，属于中档题．