Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，.

（1）求证：；

（2）当直线与平面所成角为时，求二面角平面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、、，推导出，，可证得直线平面，进而可证得；

（2）证明出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用直线与平面所成的角为求出，然后利用空间向量法可求得二面角的平面角的大小.

（1）取的中点，连接、、，

，为的中点，.

四边形是菱形，且，是正三角形，则.

又，平面.

又平面，；

（2），平面平面，交线为，平面.

又平面，，、、两两互相垂直.

以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

面，即为与面所成角，，.

在正三角形中，，假设，则.

、、、.

，，.

设面的法向量为，则.

不妨取，则.

同理，设面的法向量为，则.

不妨取，则.

，平面平面，二面角平面角为.