Question

【题目】已知抛物线焦点为，直线过与抛物线交于两点.到准线的距离之和最小为8.

（1）求抛物线方程；

（2）若抛物线上一点纵坐标为，直线分别交准线于.求证：以为直径的圆过焦点.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据题意及抛物线定义，可知，从而可求出抛物线方程；

（2）当直线与轴垂直时，求出，的坐标，进而证得以为直径的圆过焦点；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，点和点坐标，并与抛物线方程联立，

借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得，从而证出以为直径的圆过焦点.

（1）到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为，

最小为通径，所以，解得，

所以抛物线方程为.

（2）抛物线焦点，准线方程：，

由点纵坐标为，得，

当直线与轴垂直时，

直线方程为，此时，， ，

直线：，直线：，

所以，，，

所以，圆心坐标为，半径，

焦点到圆心的距离，

此时，以为直径的圆过焦点.

当直线与轴不垂直时，

设直线，设，

，得，，，

直线为代入准线得：

同理可得

，

所以，所以焦点在以为直径的圆上.

综上，以为直径的圆过焦点.