【题目】已知四棱锥,底面
为正方形,且
底面
,过
的平面与侧面
的交线为
,且满足
(
表示
的面积).
(1)证明: 平面
;
(2)当时,二面角
的余弦值为
,求
的值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)由正方形性质可得,从而得
平面
,根据线面平行的性质定理可得
,由三角形中位线定理可得
,进而根据线面平行的判定定理可得
平面
;(2)∵底面
为正方形,且
底面
,
两两垂直,建立如图所示空间直角坐标系
,设
,
,分别求出平面
的一个法向量及平面
的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得
,从而可得结果.
试题解析:(1)由题知四边形ABCD为正方形
∴AB//CD,又平面PCD,AB
平面PCD
∴AB//平面PCD
又AB平面ABFE,平面ABFE∩平面PCD=EF
∴EF // AB,又AB//CD
∴EF //CD,
由S△PEF:S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点
连接BD交AC与G,则G为BD中点,
在△PBD中EG为中位线,∴ EG//PB
∵ EG//PB,EG平面ACE,PB
平面ACE
∴PB//平面ACE.
(2)∵底面ABCD为正方形,且PA⊥底面ABCD,
∴PA、AB、AD两两垂直,建立如图所示空间直角坐标系A-xyz,
设AB=AD=2a,AP=2b,则A(0,0,0),D(0,2a,0),C(2a,2a,0)
G(a,a,0),P(0,0,2b),F(a,a,b),
∵PA⊥底面ABCD,DG底面ABCD,∴DG⊥PA ,
∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC,AC∩PA=A
∴DG⊥平面CAF,
∴平面CAF的一个法向量为
设平面AFD的一个法向量为而
由得
取
可得
为平面AED的一个法向量,
设二面角C—AF—D的大小为
则得
又 ∴
∴当二面角C—AF—D的余弦值为时
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】某工厂制作仿古的桌子和椅子,需要木工和漆工两道工序.已知生产一把椅子需要木工4个工作时,漆工2个工作时;生产一张桌子需要木工8个工作时,漆工1个工作时.生产一把椅子的利润为1500元,生产一张桌子的利润为2000元.该厂每个月木工最多完成8000个工作时、漆工最多完成1300个工作时.根据以上条件,该厂安排生产每个月所能获得的最大利润是__________元.
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【题目】双曲线
的左、右焦点分别为
,过
作倾斜角为
的直线与
轴和双曲线的右支分别交于
两点,若点
平分线段
,则该双曲线的离心率是( )
A. B.
C. 2 D.
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【题目】下列命题:①在线性回归模型中,相关指数表示解释变量
对于预报变量
的贡献率,
越接近于1,表示回归效果越好;②两个变量相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1;③在回归直线方程
中,当解释变量
每增加一个单位时,预报变量
平均减少0.5个单位;④对分类变量
与
,它们的随机变量
的观测值
来说,
越小,“
与
有关系”的把握程度越大.其中正确命题的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】已知函数与函数
的图像关于直线
对称,函数
.
(Ⅰ)若,且关于
的方程
有且仅有一个解,求实数
的值;
(Ⅱ)当时,若关于
的不等式
在
上恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】已知点在曲线
上,⊙
过原点
,且与
轴的另一个交点为
,若线段
,⊙
和曲线
上分别存在点
、点
和点
,使得四边形
(点
,
,
,
顺时针排列)是正方形,则称点
为曲线
的“完美点”.那么下列结论中正确的是( ).
A. 曲线上不存在”完美点”
B. 曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于
C. 曲线上只存在一个“完美点”,其横坐标大于
且小于
D. 曲线上存在两个“完美点”,其横坐标均大于
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【题目】“秃发”是一种常见的毛发疾病,随着发病人群年龄结构的年变化,逐渐引起了社会的广泛关注.一个人出生时头发数量约为100000根,数学徐老师建立了“秃发”函数模型作预估:一个人岁时的头发根数为
,其中
称为“脱发指数”.
(1)杜老师5岁时有74375根头发,请依据模型求出杜老师的“脱发指数”的值;
(2)徐老师的学生认为“秃发”函数模型中有两个缺点:①头发的根数应该为整数;②头发的根数不能为负数,徐老师感觉很有道理,将模型作了两处修正,请写出修正后(1)问中杜老师的“秃发”函数模型,并求出杜老师几岁时头发最多.
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