Question

【题目】已知函数与函数的图像关于直线对称，函数 .

（Ⅰ）若，且关于的方程有且仅有一个解，求实数的值；

（Ⅱ）当时，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】试题分析: ∵函数与函数的图像关于直线对称，∴，

∴

（Ⅰ）令，则，即

令，利用导数研究 的性质，可得，

又， ， 所以当函数有且仅有一个零点时， .

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，

利用导数研究 的性质，可得是的极大值点.

∵

∴，即可求出实数的取值范围.

试题解析:∵函数与函数的图像关于直线对称，∴，

∴

（Ⅰ）令，则，即

令，则，

令，则.

因为，所以 所以在上是减函数，

又，所以当时， ，当时， .

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

又， ，

所以当函数有且仅有一个零点时， ，∴.

（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）知，

易知，当时， 恒成立，等价于.

因为，令得，或

又，所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，即是的极大值点.

∵

∴，即为所求.