Question

6．在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AC}$=（3，2），$\overrightarrow{BD}$=（-4，6），则四边形ABCD面积为（　　）

• A． 2$\sqrt{13}$
• B． 52
• C． $\sqrt{13}$
• D． 13

Answer 1

分析 利用向量平行四边形法则：$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$=（3，2），$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BD}$=（-4，6），解得$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$．利用向量夹角公式可得：cosA=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}$．sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，可得四边形ABCD面积S=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|$sinA．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AC}$=（3，2），
$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BD}$=（-4，6），
解得$\overrightarrow{AD}$=$（-\frac{1}{2}，4）$，$\overrightarrow{AB}$=$（\frac{7}{2}，-2）$，
$|\overrightarrow{AD}|$=$\sqrt{（-\frac{1}{2}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$，$|\overrightarrow{AB}|$=$\sqrt{（\frac{7}{2}）^{2}+（-2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{65}}{2}$．
∴cosA=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|}$=$\frac{-\frac{7}{4}-8}{\frac{\sqrt{65}}{2}×\frac{\sqrt{65}}{2}}$=$-\frac{39}{65}$．
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{52}{65}$，
∴四边形ABCD面积S=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AD}|$sinA=$\frac{\sqrt{65}}{2}$×$\frac{\sqrt{65}}{2}$×$\frac{52}{65}$=13．
故选：D．

点评 本题考查了向量平行四边形法则、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．