Question

16．已知函数f（x）=x²-（a²-2a-1）x-a-2在[1，+∞）上是增函数．
（1）求实数a的取值范围；
（2）试比较f（1）与2f（0）的大小．

Answer 1

分析 （1）分析函数的对称轴，结合函数单调性，构造不等式，解得实数a的取值范围；
（2）求出f（1）-2f（0）的表达式，结合（1）中结论，判断式子的符号，进而可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-（a²-2a-1）x-a-2的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{{a}^{2}-2a-1}{2}$为对称轴的抛物线，
若函数f（x）=x²-（a²-2a-1）x-a-2在[1，+∞）上是增函数，则$\frac{{a}^{2}-2a-1}{2}$≤1，
解得：a∈[-1，3]；
（2）∵f（1）-2f（0）=1-（a²-2a-1）-a-2-2（-a-2）=-a²+3a+4，
当a∈[-1，3]时，-a²+3a+4≥0恒成立，
故f（1）≥2f（0）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．