Question

已知函数f(x)=sin2x-2

3

cos2x+

3

，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求函数f（x）的最大值和最小值，并写出x为何值时取得最值；
（2）若不等式|f（x）-a|＜2，对一切x∈[

π

4

，

π

2

]恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先利用辅助角公式对函数进行化简，在结合正弦函数的单调性即可求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）先把不等式转化为：

a＞f(x)-2 a＜f(x)+2

；再结合（1）的结论即可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)；…（4分）
因x∈[

π

4

，

π

2

]，所以

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

；
当x=

π

4

时，f(x)min=f(

π

4

)=1…（6分）
当x=

5π

12

时，f(x)max=f(

5π

12

)=2；　　　…（8分）
（2）由-2＜f（x）-a＜2得：

a＞f(x)-2 a＜f(x)+2

；　…（13分）
所以，实数a的取值范围为：（0，3）．　　…（15分）

点评：本题主要考查三角函数的化简求值以及正弦函数单调性的应用．是对知识的综合考查，在研究函数的最值时，一般要先研究函数的单调性．