Question

已知f(x)是二次函数，不等式f(x)＜0的解集是(0,5),且f(x)在区间［-1，4］上的最大值是12.

(1)求f(x)的解析式；

(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

解：(1)∵f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0，5)，

∴可设f(x)=ax(x-5)(a＞0),

∴f(x)在区间［-1，4］上的最大值是f(-1)=6a.

    由已知，得6a=12,∴a=2,

∴f(x)=2x(x-5)=2x²-10x(x∈R).

(2)方程f(x)+=0等价于方程2x³-10x²+37=0.

    设h(x)=2x³-10x²+37,

    则h′(x)=6x²-20x=2x(3x-10).

    当x∈(0,)时，h′(x)＜0,h(x)是减函数；

    当x∈(,+∞)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数.

∵h(3)=1＞0,h()=-＜0,h(4)=5＞0,

∴方程h(x)=0在区间(3,),(,4)内分别有唯一实数根，而在区间(0,3),(4,+∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m=3，使得方程f(x)+=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根.