Question

已知x=3是函数f（x）=alnx+x²-10x的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若直线y=b与y=f（x）图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，由极值点，可得f′（3）=0，解方程，即可得到a；
（2）求出导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域；
（3）求出极值，由题意可得，b介于极小值和极大值之间．

解答： 解：（1）函数f（x）=alnx+x²-10x的导数为f′（x）=

a

x

+2x-10，
由于x=3是函数f（x）=alnx+x²-10x的一个极值点，
则f′（3）=0，即

a

3

+6-10=0，解得，a=12；
（2）f（x）的导数为f′（x）=

12

x

+2x-10=

2

x

（（x-2）（x-3）（x＞0），
令f′（x）＞0，解得，x＞3或0＜x＜2，f（x）递增；
令f′（x）＜0，解得，2＜x＜3，f（x）递减．
则f（x）的单调减区间为（2，3），单调增区间为（0，2），（3，+∞）；
（3）由于f（x）在（0，2）和（3，+∞）内单调递增，
在（2，3）内单调递减，
则f（x）在x=2处取得极大值，且为12ln2-16，
在x=3处取得极小值，且为12ln3-21，
由于直线y=b与y=f（x）图象有3个交点，
则b介于极小值和极大值之间，即为
12ln3-21＜b＜12ln2-16．
故b的取值范围是（12ln3-21，12ln2-16）．

点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值，考查运算能力，属于中档题．