【题目】【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1：几何证明选讲]
如图， 
分别与圆
相切于点
， 
， 
经过圆心
，且
，求证： 
.
B.[选修4-2：矩阵与变换]
在平面直角坐标系中，已知点
， 
， 
， 
，先将正方形
绕原点
逆时针旋转
，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵
.
C.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程为
（
为参数）.现以
为极点， 
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线
的极坐标方程.
D.[选修4-5：不等式选讲]
已知
为互不相等的正实数，求证： 
.
【答案】见解析.
【解析】A.根据题意，可以考虑证明
，又由
，从而问题可得证；B.根据旋转变换矩阵、伸缩变换矩阵以及矩阵乘法的定义进行运算，问题可得解；C.根据题意，以直角坐标系的原点为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，再由参数方程经过消参得到一般方程，再由一般方程化为极坐标方程即可；D.根据题意，可考虑使用分析法进行证明即可.
试题解析：A.解：易得
，
又
，
故
，
所以
.
又
，
故
.
B.解：设将正方形
绕原点
逆时针旋转
所对应的矩阵为
，
则
.
设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为
，
则
，
所以连续两次变换所对应的矩阵
.
C.解：依题意知
（
为参数），
因为
，
所以
，即
，
化为极坐标方程得
，即
，
所以曲线
的极坐标方程为
.
D.证明：因为
， 
，
所以要证
，
只要证
，
即要证
，
只需证
，
而
，故
成立.
计算高手系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知集合
．对于
， 
，定义
与
之间的距离为
．
（Ⅰ）写出
中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；
（Ⅱ）若集合
满足： 
，且任意两元素间的距离均为2，求集合
中元素个数的最大值并写出此时的集合
；
（Ⅲ）设集合
， 
中有
个元素，记
中所有两元素间的距离的平均值为
，证明
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告知大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”．
（1）求乙班总分超过甲班的概率；
（2）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90分，乙班第六位选手的得分是97分，
①请你从平均分和方差的角度来分析两个班的选手的情况；
②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为
，求的分
布列及数学期望．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人），如茎叶图所示，其中一个数字被污损．
(1)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率；
(2)随着节目的播出，极大激发了观众对成语知识学习积累的热情，从中获益匪浅．现从观看该节目的观众中随机统计了位观众的周均学习成语知识的时间(单位：小时)与年龄（单位：岁），并制作了对照表（如下表所示），
年龄x（岁） | ||||
周均学习成语知识时间y（小时） |
由表中数据，试求线性回归方程，并预测年龄为岁观众周均学习成语知识时间．
参考公式：
．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某教研机构随机抽取某校20个班级，调查各班关注汉字听写大赛的学生人数，根据所得数据的茎叶图，以组距为5将数据分组成
时，所作的频率分布直方图如图所示，则原始茎叶图可能是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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【题目】已知函数 
满足 
（其中 
， 
）．
（1）求 
的表达式；
（2）对于函数 
，当 
时， 
，求实数 
的取值范围．
（3）当 
时， 
的值为负数，求 
的取值范围．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策. 为了解适龄民众对放开
生二胎政策的态度，某市选取70后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎
的有4人，不打算生二胎的有6人.
(1)从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；
(2)若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市70后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望.
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