Question

甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在编号为1～10的10道试题中，甲能答对编号为1～6的6道题，乙能答对编号为3～10的8道题，规定每位考生都从备选题中抽出3道试题进行测试，至少答对2道才算合格，
（1）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望；
（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．

Answer 1

分析：（1）ξ的取值为0，1，2，3，然后利用等可能事件的概率公式分别求出相应的概率公式，列出分布列，最后根据数学期望的公式解之即可；
（2）分别求出甲与乙考试合格的概率，然后根据互斥事件与对立事件概率公式解之即可．

解答：解：（1）由题意，ξ的取值为0，1，2，3
P(ξ=0)=

C 3 4

C 3 10

=

1

30

；                           （1分）
P(ξ=1)=

C 2 4 C 1 6

C 3 10

=

3

10

；                          （2分）
P(ξ=2)=

C 1 4 C 2 6

C 3 10

=

1

2

；                          （3分）
P(ξ=3)=

C 3 6

C 3 10

=

1

6

．                              （4分）

ξ	0	1	2	3
P	1 30	3 10	1 2	1 6

所以ξ的分布列为                                                                                （5分）
Eξ=1×

3

10

+2×

1

2

+3×

1

6

=

9

5

．                             （6分）
（2）P（甲合格）=

C 2 6 C 1 4 + C 3 6

C 3 10

=

2

3

；                      （8分）
P（乙合格）=

C 2 8 C 1 2 + C 3 8

C 3 10

=

14

15

；                     （10分）
所求P=1-(1-

2

3

)(1-

14

15

)=

44

45

．                    （12分）

点评：本题主要考查了离散型随机变量的数学期望及其分布列，以及等可能事件的概率，同时考查了计算能力，属于中档题．