【题目】如图，在正四棱柱
中，
，
，
，
，
是棱
的中点，平面
与直线
相交于点
.
（1）证明：直线
平面
.
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）推导出
，
，设点
为
的中点，连结
，
，推导出
平面
，
平面，从而平面
平面，由此能证明
平面．
（2）以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角
的正弦值．
解：（1）证明：
平面
平面
，
平面
平面
，平面平面
，
，由题意得，
设点为的中点，连结，，
是棱
的中点，
，
平面，
平面，
平面，
，
，
，
平面，
平面，
平面，
，
平面平面，
平面
，
平面．
（2）解：
，
，如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，0，
，
，1，，
，0，
，
1，
，
，1，，
，1，，
，0，，
设平面
的法向量
，，
，
则
，取
，得
，
，，
设平面
的法向量
，
，
，
则
，取
，得
，1，，
设二面角的平面角为
，
由
，
，
二面角的正弦值为．
名校课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知三棱柱
中，
，
，点
为
的中点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）条件①：直线
与平面
所成的角为
；
条件②：
为锐角，三棱锥
的体积为
.
在以上两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：
若平面
平面，______，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如果执行程序框图，输入正整数
，
，满足
，那么输出的
等于（ ）．
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A.
B.
C.
D.
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【题目】如图所示，正四棱锥
底面的四个顶点
，
，
，
在球
的同一个大圆上，点
在球面上，且已知
．
（1）求球的表面积；
（2）设
为
中点，求异面直线
与
所成角的大小．
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【题目】双曲线C的渐近线方程为
，一个焦点为F（0，﹣8），则该双曲线的标准方程为_____.已知点A（﹣6，0），若点P为C上一动点，且P点在x轴上方，当点P的位置变化时，△PAF的周长的最小值为_____.
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【题目】观察不等式：
，
，
，
，
由此归纳第
个不等式为____________；要用数学归纳法证明该不等式，由
时不等式成立，推证
时，左边应增加的项数为____________.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知抛物线C:
的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且
.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点，若AB的垂直平分线
与C相交于M,N两点，且A,M,B,N四点在同一个圆上，求直线l的方程.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD与△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①
；
②∠BAC＝60°；
③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确结论的序号是 ．（请把正确结论的序号都填上）
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