Question

5．如图，在半径为1、圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π）的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，设圆P的半径为R，圆Q的半径为r．
（1）用θ表示圆P的半径R；   
（2）求圆Q半径r的最大值．

Answer 1

分析 （1）在直角三角形OEP中$OP=\frac{PE}{sinθ}=\frac{R}{sinθ}$，即可用θ表示圆P的半径R；  
（2）令sinθ=t，0＜t＜1，利用导数的性质能求出圆Q的半径的最大值．

解答 解：（1）如图，在直角三角形OEP中$OP=\frac{PE}{sinθ}=\frac{R}{sinθ}$…2分
因为半径为1，所以OP+R=1，所以$R=\frac{sinθ}{1+sinθ}$…5分
（2）在直角三角形ODQ，OQ=$\frac{DQ}{sinθ}$=$\frac{r}{sinθ}$，OQ+r+2R=1，
∴$r=\frac{sinθ（1-sinθ）}{{{{（1+sinθ）}^2}}}$…10分
令$sinθ=t，（0＜t＜1），r=\frac{{t-{t^2}}}{{{{（1+t）}^2}}}，r'=\frac{1-3t}{{{{（1+t）}^3}}}$
令$r'=0，t=\frac{1}{3}$$0＜t＜\frac{1}{3}，r'＞0；\frac{1}{3}＜t＜1，r'＜0$
所以$t=\frac{1}{3}$时，$r=\frac{1}{8}$…14分
答：存在θ为锐角，当$sinθ=\frac{1}{3}$时，圆Q半径得最大值$\frac{1}{8}$．…15分．

点评 本题考查函数的求法，考查圆的半径的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．