Question

设有椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，若F是椭圆C的焦点，而通过点F的直线m与C交于点A（x₁，y₁）与B（x₂，y₂），其中（y₁＞y₂），且满足

AF

BF

=2，试求直线m的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设方程为y=k（x-1），代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，整理可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，利用韦达定理，结合

AF

BF

=2，即可求直线m的方程．

解答： 解：由题意，设方程为y=k（x-1），则
代入椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，整理可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁+x₂=

8k2

3+4k2

①，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

②，
∵

AF

BF

=2，
∴x₁-1=2（1-x₂）③，
由①②③可得k=±

5

6

，
∴直线m的方程为y=±

5

6

（x-1）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．