Question

已知f（x）是二次函数，满足f（x+1）+f（2x-1）=-5x²-x，求函数f（x）的解析式、值域，并写出函数的单调递减区间．

Answer 1

分析：先利用待定系数法求出函数的解析式，再判断函数的单调性，最后求出最值．

解答：解：根据题意设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
所以f（x+1）+f（2x-1）=5ax²+（3b-2a）x+2（a+c）=-5x²-x，
∴

5a=-5 3b-2a=-1 2(a+c)=0

，解得

a=-1 b=-1 c=1

，
∴f（x）=-x²-x+1，
所以函数图象开口向下，最大值在x=-

1

2

处取得，为

5

4

，故值域为(-∞，

5

4

]，
单调递减区间为[-

1

2

，+∞)．

点评：本题考察待定系数法求函数的解析式，以及二次函数的单调性和值域，属基础题．