Question

已知函数

（Ⅰ）若有两个极值点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）当时，讨论函数的零点个数.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）。

（Ⅱ）综上可知，当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ），

法1： 

有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，等价于     

，解得，即为所求的实数的取值范围.

法2： 

有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根，即方程  

在上有两个不等的实根，等价于

,,解得，即为所求的实数的取值范围.

法3： ，即方程在上有两个不等的实根，令，则其图象对称轴为直线，图象恒过点，

问题条件等价于的图象与轴正半轴有两个不同的交点，等价于，

（Ⅱ）法1：（1）当时，，

由得，，解得，

由得，，解得，

从而在、上递减，在上递增，

，  

，因为，所以，又，所以，从而.

又的图象连续不断，故当时，的图象与轴有且仅有一个交点.  

法2： ，令，考察函数，由于，所以在上递减，，即，

（2）当时，因为，所以，则当时，；当时，.从而在上递减，在上递增,.

①若，则，此时的图象与轴无交点.

②若，则，的图象与轴有且仅有一个交点.

综上可知，当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数无零点.

考点：应用导数研究函数的单调性、极值、图象特征、函数的零点，不等式组的解法。

点评：典型题，本题解答思路明确，注意是应用导数研究函数的单调性、极值、图象特征、函数的零点等。解答（I）时关键之一是认识到“有两个极值点等价于方程在上有两个不等的实根”。解答（II）时，通过研究函数的单调性、极值等，明确了函数图像的大致形态，又通过讨论a 的不同取值范围，确定出函数零点的个数。解法较多，对启迪学生的思维很有帮助。