Question

已知曲线C上任意一点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1，一个圆的圆心为A（0，4），过点A的直线与曲线C交于D，E两点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）当线段DE长度最短时，曲线C过D点的切线与圆A相切的弦长为

8 5

5

，求此时圆A的方程．

Answer 1

考点：圆与圆锥曲线的综合

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）根据抛物线的定义，即可求曲线C的方程；
（Ⅱ）根据直线和圆的位置关系，以及相应的弦长公式，求出圆的圆心和半径，即可求出圆的方程．

解答： 解：（Ⅰ）点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1，
即P在直线l的上方，且P到点F（0，1）的距离与它到直线l：y=-1的距离相等，
即P点的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，则对应的抛物线方程为x²=4y．
（Ⅱ）设直线DE：y=kx+4，
由

y=kx+4 x2=4y

，得x²-4kx-16=0，
则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16，
则DE=

(1+k2)(16k2+64)

=4

k4+5k2+4

，
则当k=0时，DE最短，不妨设D在第一象限，此时D（4，4），
过D的切线为2x-y-4=0，
过D点的切线与圆A相切的弦长2

R2-( 8 5 )2

=

8 5

5

，
解得R=4，
则圆的方程为x²+（y-4）²=16．

点评：本题主要考查抛物线的定义和方程的应用，利用直线和圆的位置关系的应用，综合性较强，难度较大．