Question

已知：向量

OA

=（

3

，0），O为坐标原点，动点M满足：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=4．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）已知直线l₁，l₂都过点B（0，1），且l₁⊥l₂，l₁，l₂与轨迹C分别交于点D，E，试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角三角形．若存在，指出这样的直线共有几组（无需求出直线的方程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=4，

OA

=（

3

，0），知动点M的轨迹是以点（±

3

，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，即可求动点M的轨迹C的方程；
（2）设直线方程，求出D，E的坐标，利用△BDE是等腰直角三角形，可得|BD|=|BE|，即

|- 8k 1+4k2 |

1+k2

=

| 8k k2+4 |

1+ 1 k2

，从而可得结论．

解答： 解：（1）由：|

OM

+

OA

|+|

OM

-

OA

|=4，

OA

=（

3

，0），知动点M的轨迹是以点（±

3

，0）为焦点、4为长轴长的椭圆，
∴c=

3

，a=2，
∴b=1，
∴所求的方程为

x2

4

+y2=1．
（2）设BD：y=kx+1，代入上式得（1+4k²）x²+8kx=0，
∴x₁=0，x₂=-

8k

1+4k2

=x_D，
∵l₁⊥l₂，∴以-

1

k

代k，得x_E=

8k

k2+4

∵△BDE是等腰直角三角形，
∴|BD|=|BE|，
∴

|- 8k 1+4k2 |

1+k2

=

| 8k k2+4 |

1+ 1 k2

，
∴|k|（k²+4）=1+4k²，①
k＞0时①变为k³-4k²+4k-1=0，∴k=1或

3± 5

2

；
k＜0时①变为k³+4k²+4k-1=0，k=-1或

-3± 5

2

．
∴使得△BDE是等腰直角三角形的直线共有4组．

点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的方程是关键．