Question

设定义域为R的函数f（x）=

2x+1

a+4x

为偶函数，其中a为实常数．
（1）求a的值；
（2）求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得f（-1）=f（1），解关于a的方程可得；
（2）由（1）知f（x）=

2

1 2x +2x

，由基本不等式可得

1

2x

+2x≥2，由不等式的性质可得函数值域．

解答： 解：（1）∵定义域为R的函数f（x）=

2x+1

a+4x

为偶函数，
∴f（-1）=f（1），即

2-1+1

a+4-1

=

21+1

a+41

，解得a=1
∴a的值为1；
（2）由（1）知f（x）=

2x+1

1+4x

=

2•2x

1+(2x)2

=

2

1 2x +2x

，
由基本不等式可得

1

2x

+2x≥2

1 2x •2x

=2，
当且仅当

1

2x

=2x即x=0时取等号，
∴f（x）=

2

1 2x +2x

∈（0，

1

2

]
∴函数y=f（x）的值域为：（0，

1

2

]

点评：本题考查函数的奇偶性，涉及函数值域和基本不等式，属中档题．