Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，直线AA₁与底面ABC所成的角是直角，直线AB与B₁C₁所成的角为45°，∠BAC=90°，且AB=AA₁，D、E、F分别为B₁A、A₁C、BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求证：平面AB₁F⊥平面AEF．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AB中点G，连结DG，GC，连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP，证明DE∥BP，即可证明DE∥平面ABC；
（2）证明B₁F⊥平面AEF，即可证明平面AB₁F⊥平面AEF．

解答： 证明：（1）取AB中点G，连结DG，GC．
连接A₁B、A₁E，并延长A₁E交AC的延长线于点P，连接BP．
由E为C₁C的中点，A₁C₁∥CP，
由题意A₁E=EP，
∵D、E是A₁B、A₁P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP?平面ABC，DE?平面ABC，∴DE∥平面ABC┉┉（7分）
（2）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，
又∵直线AA₁与底面ABC所成的角为直角
∴B₁B⊥平面ABC，B₁F⊥AF，
设AB=AA₁=2，则B₁F=

6

，EF=

3

，B₁E=3
∴B₁F⊥EF，∴B₁F⊥平面AEF；
∴平面AB₁F⊥平面AEF．┉┉（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．