现代城市大多是棋盘式布局(如北京道路几乎都是东西和南北走向)．在这样的城市中.我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离.而是实际路程．在直角坐标平面内.我们定义A(x1.y1).B(x2.y2)两点间的“直角距离为:D(AB)=|x1-x2|+|y1-y2|．(1)在平面直角坐标系中如图2.写出所有满足到原点的“直角距离为2的“格点 � 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图1）．在直角坐标平面内，我们定义A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点间的“直角距离”为：D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）在平面直角坐标系中如图2，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标．（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点F₁、F₂的“直角距离”和为定值2a（a＞0）的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹
①F₁（-1，0），F₂（1，0），a=2

②F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=2；
③F₁（-1，-1），F₂（1，1），a=4．
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）．
①到A（-1，-1），B（1，1）两点“直角距离”相等；
②到C（-2，-2），D（2，2）两点“直角距离”和最小．

考点：两点间的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）由已知条件结合图象能求出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标．
（2）条件①轨迹方程为|x+1|+|x-1|+2|y|=4，条件②轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=4，条件③：轨迹方程为：|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=8，由此能求出结果．
（3）满足条件的格点有（-2，2），（-1，2），（-2，1），（-1，1），（0，0），（1，-1），（2，-1），（1，-2），（2，-2），对于①，满足|x+1|+|y+1|=|x-1|+|y-1|，从而p∈{（x，y）|x+y=0，-1≤x≤1或x≤-1，y≥1或x≥1，y≤-1}，对于②，D_（PA）+D_（PB）=|x+2|+|y+2|+|x-2|+|y-2|≥|x+2+2-x|+|y+2+2-y|=8，从而点P∈{（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2}．由此能求出格点的坐标．

解答： 解：（1）在平面直角坐标系中如图2，

所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标有：
（0，2，），（1，1），（2，0），（1，-1），
（0，-2），（-1，-1），（-2，0），（-1，1）．
（2）条件①轨迹方程为|x+1|+|x-1|+2|y|=4，
当x≤-1，y≥0时，x-y+2=0；
当x≤-1，y＜0时，x+y+2=0；
当-1＜x＜1，y≥0时，y=1；
当-1＜x＜1，y＜0时，y=-1；
当x≥1，y≥0时，x+y-2=0；
当x≥1，y＜0时，x-y-2=0．
条件②轨迹方程为：
|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=4，
当x≤-1，y≥1时，（x，y）=（-1，1）；
当x≤-1，-1≤y＜1时，x=-1；
当-1＜x＜1，y≥1时，y=1；
由对称性可得其他部分图形．

条件③：轨迹方程为：
|x+1|+|y+1|+|x-1|+|y-1|=8，
当x≤-1，y≥1时，x-y+3=0；
当x≤-1，-1≤y＜1时，x+3=0；
当-1＜x＜1，y≥1时，y=3．
由对称性可得其他部分图形．
（3）如图，满足条件的格点有（-2，2），（-1，2），
（-2，1），（-1，1），（0，0），（1，-1），
（2，-1），（1，-2），（2，-2），
对于①，设P（x，y）满足到A（-1，-1）、B（1，1）两点
“直角距离”相等，

即满足|x+1|+|y+1|=|x-1|+|y-1|，
解得p∈{（x，y）|x+y=0，-1≤x≤1或x≤-1，y≥1或x≥1，y≤-1}，如图．
对于②，设P（x，y）到C（-2，-2），D（2，2）两点“直角距离”和最小，
即D_（PA）+D_（PB）=|x+2|+|y+2|+|x-2|+|y-2|
=|x+2|+|x-2|+|y+2|+|y-2|
≥|x+2+2-x|+|y+2+2-y|=8，
当且仅当-2≤x≤2且-2≤y≤2等号成立，
可得点P∈{（x，y）|-2≤x≤2，-2≤y≤2}．如图
故同时满足条件①②的格点的坐标是：
（-2，2），（-1，2），（-2，1），（-1，1），（0，0），
（1，-1），（2，-1），（1，-2），（2，-2）．

点评：本题考查格点坐标的求法，考查轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

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