Question

已知一动圆P与圆M₁：（x+4）²+y²=25和圆M₂：（x-4）²+y²=1均外切（其中M₁、M₂分别为圆M₁和圆M₂的圆心）．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若过点M₂的直线l与曲线E有两个交点A、B，求|AM₁|•|BM₁|的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）动圆P的半径为r，运用两圆外切的条件，结合双曲线的第一定义，即可得到双曲线的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-4），联立双曲线方程，运用韦达定理和判别式大于0，化简即可得到k²＞3．再由双曲线的第二定义，即可得到|AM₁|•|BM₁|＞100，再讨论斜率不存在，则有|AM₁|•|BM₁|=100，进而得到取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）动圆P的半径为r，则|PM₁|=5+r，|PM₂|=1+r，
|PM₁|-|PM₂|=4＜|M₁M₂|，
故点P的轨迹E是以M₁，M₂为焦点的双曲线的右支．
设方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（x≥a），
知2a=4，2c=8，所以a=2，c=4，b²=c²-a²=12，
故轨迹E的方程为

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）．
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x-4），
联立方程组

y=k(x-4) 3x2-y2=12

消去y，得（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁≥2，x₂≥2，
且

3-k2≠0 △=64k4+4(3-k2)(16k2+12)＞0 x1+x2=- 8k2 3-k2 ＞0 x1x2= -16k2-12 3-k2 ＞0

解得k²＞3．
双曲线左准线方程为x=-1．离心率e=2，
根据双曲线第二定义，有

|AM1|

x1+1

=

|BM1|

x2+1

=2，
∴|AM₁|•|BM₁|=2（x₁+1）×2（x₂+1）=4（x₁x₂+x₁+x₂+1）
=4（

-16k2-12

3-k2

-

8k2

3-k2

+1）=4×

25k2+9

k2-3

=4（25+

84

k2-3

）＞100，
当直线l的斜率不存在时，易求得|AM₁|•|BM₁|=100
故|AM₁|•|BM₁|∈[100，+∞）．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查圆与圆的位置关系，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式，考查双曲线的第二定义及运用，考查运算化简能力，属于中档题．