Question

若正整数N=

n

i=1

ai（a_i∈N^*），称T=

n π

i=1

a_i为N的一个“分解积”，
（1）当N分别等于6，7，8时，它们的“分解积”的最大值分别为

 

（2）当N=3m+1（m∈N^*）时，它的“分解积”的最大值为

 

．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）N=6=3+3，分解积的最大值为3×3=9，N=7=3+2+2，分解积的最大值为3×2×2=12，N=8=3+3+2，分解值的最大值为3×3×2=18．
（2）由已知推导出a_k（k=1，2，…）中，只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超大型过1个，由此能求出当N=3m+1（m∈N^*）时，它的“分解积”的最大值为4×3^m-1．

解答： 解：（1）∵正整数N=

n

i=1

ai（a_i∈N^*），T=

n π

i=1

a_i为N的一个“分解积”，
6=3+3，
∴N=6时，分解积的最大值为3×3=9，
∵7=3+2+2，
∴N=7时，分解积的最大值为3×2×2=12，
∵8=3+3+2，
∴N=8时，分解值的最大值为3×3×2=18．
（2）由（1）知a_k（k=1，2，…）中可以有2个2，
当a_k（k=1，2，…）有3个或3个以上的2时，
∵2+2+2=3+3，且2×2×2＜3×3，
∴此时分解积不是最大的，
∴a_k（k∈N^*）中最多有2个2；
当a_k（k=1，2，…）中有1时，
∵1+a_i=（a_i+1），且1×a_i＜a_i+1，
∴此时分解积不是最大，可以将1加到其他数中，
使得分解积变大；
当a_k（k=1，2，…）中有4时，
若将4分解为1+3，分解值不会最大，
若将4分解为2+2，则分解积相同；
若有两个4，∵4+4=3+3+2，且4×4＜3×3×2，
∴将4+4改写为3+3+2，使得分解积更大．
故a_k（k=1，2，…）中至多有1个4，而且可写成2+2，
综上所述，a_k（k=1，2，…）中，只能出现2或3或4，
且2不能超过2个，4不能超大型过1个，
∴当N=3m+1（m∈N^*）时，它的“分解积”的最大值为4×3^m-1．
故答案为：9，12，18；4×3^m-1．

点评：本题考查分解积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．