Question

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为

x=1+tcosα y=tsinα

 （t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化为直角坐标方程；
（2）将直线l的参数方程代入y²=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．

解答： 解：（I）由ρsin²θ=4cosθ，得（ρsinθ）²=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=4x． 
（II）将直线l的参数方程代入y²=4x，得t²sin²α-4tcosα-4=0．
设A、B两点对应的参数分别为t₁、t₂，
则t₁+t₂=

4cosα

sin2α

，t₁t₂=-

4

sin2α

，
∴|AB|=|t₁-t₂|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

( 4cosα sin2α )2+ 16 sin2α

=

4

sin2α

，
当α=

π

2

时，|AB|的最小值为4．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义等基础知识与基本技能方法，属于基础题．