Question

11．在直角坐标系中，曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的单位长度，建立极坐际系，曲线C₂的极坐际方程为ρ=asinθ（a∈R），点A的极坐标为（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），且点A在曲线C₂上．
（1）求曲线C₂的直角坐标方程；
（2）若P、Q两点分别在曲线C₁和C₂上运动，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₂的极坐际方程为ρ=asinθ（a∈R），化为ρ²=aρsinθ，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为直角坐标方程．
（2）曲线C₂的方程化为${x}^{2}+（y-\frac{a}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$．圆心C₂$（0，\frac{a}{2}）$．设曲线C₁的方程的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．可得|PC₂|=$\sqrt{-7（sinθ+\frac{3a}{14}）^{2}+16+\frac{4{a}^{2}}{7}}$，对a分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）曲线C₂的极坐际方程为ρ=asinθ（a∈R），化为ρ²=aρsinθ，∴直角坐标方程为：x²+y²=ay．
（2）曲线C₂的方程化为${x}^{2}+（y-\frac{a}{2}）^{2}$=$\frac{{a}^{2}}{4}$．
圆心C₂$（0，\frac{a}{2}）$．
设曲线C₁的方程的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
∴|PC₂|=$\sqrt{（4cosθ）^{2}+（3sinθ-\frac{a}{2}）^{2}}$=$\sqrt{-7（sinθ+\frac{3a}{14}）^{2}+16+\frac{4{a}^{2}}{7}}$，
①当$a≤-\frac{14}{3}$时，|PC₂|的最大值为3-$\frac{a}{2}$，∴|PQ|的最大值为3-a；
②当a$≥\frac{14}{3}$时，|PC₂|的最大值为3+$\frac{a}{2}$，∴|PQ|的最大值为3+a．
③当$-\frac{14}{3}＜a＜\frac{14}{3}$时，|PC₂|的最大值为$\sqrt{16+\frac{4{a}^{2}}{7}}$，∴|PQ|的最大值为$\sqrt{16+\frac{4{a}^{2}}{7}}$+$|\frac{a}{2}|$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程及其应用、极坐标方程化为直角坐标方程、二次函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．