Question

2．已知函数f（x）满足f（1）=2，且对任意x，y∈R都有f（x）=f（x+y）•f（-y），记$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$a₁=a₁a₂…a_n，则$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=64．

Answer 1

分析 利用f（x）=f（x+y）•f（-y），可把$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=f（6）f（5）f（4）…f（-4）f（-5）转化为求f⁶（1），即可求得答案．

解答 解：∵$\underset{\stackrel{n}{π}}{i=1}$a₁=a₁a₂…a_n，
∴$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=f（6）f（5）f（4）…f（-4）f（-5），
∵对任意x，y∈R都有f（x）=f（x+y）•f（-y），
∴f（6）f（-5）=f（1），f（5）f（-4）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1），
∴$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=f（6）f（5）f（4）…f（-4）f（-5）=f⁶（1），
∵f（1）=2，
∴f⁶（1）=2⁶=64，
∴$\underset{\stackrel{12}{π}}{i=1}$f（7-i）=64．
故答案为：64．

点评 本题考查了抽象函数及其应用，利用题中所给信息把问题转化成熟悉的问题，本题的解法可以类比数列求和中的“倒序相加法”，关键点是抓住f（6）f（-5）=f（1），f（5）f（-4）=f（1），…，f（1）f（0）=f（1），属于中档题．