Question

17．已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若$f（x）≤|{f（\frac{π}{3}）}|$对于任意x∈R恒成立，且$f（\frac{π}{2}）＞f（π）$，则$f（\frac{5π}{12}）$的值为（　　）

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意得f（$\frac{π}{3}$）是函数f（x）的最值，求得φ=kπ-$\frac{π}{6}$．再根据f（$\frac{π}{2}$）＞f（π），可得sinφ＜0．故可取φ=-$\frac{π}{6}$，从而求得f（$\frac{5π}{12}$）的值．

解答 解：由题意可得，f（$\frac{π}{3}$）是函数f（x）的最值，故有2×$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 φ=kπ-$\frac{π}{6}$．
再根据f（$\frac{π}{2}$）=sin（π+φ）=-sinφ＞f（π）=sin（2π+φ）=sinφ，可得sinφ＜0．
故可取φ=-$\frac{π}{6}$，故f（$\frac{5π}{12}$）=sin（$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查正弦函数的最值，求出φ的值，是解题的关键，属于中档题．