Question

5．在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a，b，c，已知$\overrightarrow{m}$=（2cos$\frac{C}{2}$，sinC），$\overrightarrow{n}$=（2sinC，cos$\frac{C}{2}$），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$．
（1）求角C的大小；
（2）若a²=3b²+c²，求tanA的值．

Answer 1

分析 （1）运用向量共线的坐标表示，结合二倍角公式和同角公式，即可求得；
（2）由余弦定理和正弦定理，结合两角和差的正弦公式，化简整理，即可得到．

解答 解：（1）由题意，$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得
2cos²$\frac{C}{2}$=2sin²C，即为1+cosC=2（1-cos²C），
可得cosC=$\frac{1}{2}$，（0＜C＜π），
解得C=$\frac{π}{3}$；
（2）由余弦定理可得，c²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，
即有c²=a²+b²-ab，
又a²=3b²+c²，则4b²=ab，
即为a=4b，
由正弦定理，可得sinA=4sinB，
即sinA=4sin（A+$\frac{π}{3}$）=4（$\frac{1}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA），
即有-sinA=2$\sqrt{3}$cosA，
则tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查向量的共线的坐标表示，考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查三角函数的化简求值，属于中档题．