Question

12．若函数f（x）=$\sqrt{\frac{x}{m}}$与函数g（x）=lnx的图象有且仅有一个交点，则实常数m的值为$\frac{{e}^{2}}{4}$．

Answer 1

分析 将两函数的交点问题转化为函数的零点问题．

解答 设h（x）=f（x）-g（x）=$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{m}}-lnx$（x＞0）；
令h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{xm}}-\frac{1}{x}=0$，即x=4m；
当0＜x＜4m时，h′（x）＜0，即h（x）是单调递减的，
当x＞4m时，h′（x）＞0，即h（x）是单调递增的，
∴h_min=h（4m）=2-ln4m=0；
∴$m=\frac{{e}^{2}}{4}$．

点评 解决此类问题时，注意将函数的交点问题转化为函数的零点问题来做，并且充分利用函数的基本性质．