Question

20．PM2.5是衡量空气污染程度的一个指标，为了了解某市空气质量情况，从去年每天的PM2.5值的数据中随机抽取40天的数据，其频率分布直方图如图所示．现将PM2.5的值划分为如下等级

PM2.5	[0，100）	[100，150）	[150，200）	[200，250]
等级	一级	二级	三级	四级

（1）根据样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图完成下列分布表；

PM2.5	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）	[200，250]
天数	5	5	15	10	5

（2）估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数；
（3）在样本中，按照分层抽样的方法从一级天气，三级天气，四级天气的PM2.5值的数据中抽取5天的数据，再从这5个数据中随机抽取2个，求至少一天是一级天气的概率．

Answer 1

分析 （1）根据样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图，能完成分布表．
（2）利用频率分布直方图能估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数．
（3）从一级天气中选2天：a₁，a₂，从三级天气中选2天：b₁，b₂，从四级天气中选1天：c₁，5天中选2天，利用列举法能求出至少一天是一级天气的概率．

解答 解：（1）根据样本空气质量PM2.5的数据的频率分布直方图，完成下列分布表：

PM2.5值	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）	[200，250）
天数	5	5	15	10	5

故答案为：5，5，10，10，5．
（2）估计该市在下一年的360天中空气质量为一级天气的天数为：
$\frac{10}{40}×360=90$，
估计某市在下一年的360天中有90天是一级天气．
（3）按照分层抽样的方法从一级天气，三级天气，四级天气的PM2.5值的数据的比值为：10：10：5=2：2：1，
∴从一级天气中选2天：a₁，a₂，
从三级天气中选2天：b₁，b₂，
从四级天气中选1天：c₁，
5天中选2天，共有10种选法，分别为：
a₁a₂，a₁b₁，a₁b₂，a₁c₁，a₂b₁，a₂b₂，a₂c₁，b₁b₂，b₁c₁，b₂c₁，
至少一天是一级天气的情况有7种，
∴至少一天是一级天气的概率p=$\frac{7}{10}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．