Question

已知函数f(x)=a(x-

1

x

)-2lnx (a∈R)．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）将a=2代入，对函数f（x）进行求导得到切线的斜率k=f′（1），切点为（1，f（1）），根据点斜式即可写出切线方程；
（2）由题意知先求函数f（x）的定义域，再由（1）得出的导数，设h（x）=ax²-2x+．下面对a进行分类讨论：①当a≤0时，②当若0＜a＜1时，③当a≥1时，由此可知f（x）的单调增区间和单调递减区间．

解答：解：f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，…（1分）
令h（x）=ax²-2x+a．
（1）当a=2时，函数f(x)=2(x-

1

x

)-2lnx，
f（1）=0，f′（x）=2（1+

1

x2

）-

2

x

．
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f′（1）=2．  …（2分）
从而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），
即2x-y-2=0．       …（4分）
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）． 设h（x）=ax²-2x+a，
（a）当a≤0时，h（x）=ax²-2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，
则f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．…（6分）
（b）当a＞0时，△=4-4a²，
（ⅰ）若0＜a＜1，
由f′（x）＞0，即h（x）＞0，得
0＜x＜

1- 1-a2

a

或x＞

1+ 1-a2

a

；…（8分）
由f′（x）＜0，即h（x）＜0，得

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

．…（9分）
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，

1- 1-a2

a

）和（

1+ 1-a2

a

，+∞），
单调递减区间为（

1- 1-a2

a

，

1+ 1-a2

a

）．   …（11分）
（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
则f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x） 在（0，+∞）上单调递增． …（13分）

点评：本题主要考查函数导数的几何意义和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系．当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，考查运算能力，属中档题．