Question

11．若向量$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow c}|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，则$\overrightarrow a•\overrightarrow c+\overrightarrow b•\overrightarrow c$的最大值是（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3

Answer 1

分析 由向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方，可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，再由向量数量积的定义和余弦函数的有界性，即可得到所求最大值．

解答 解：向量$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2}，|{\overrightarrow b}|=1，|{\overrightarrow c}|=\sqrt{3}$，且$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
可得|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{2+0+1}$=$\sqrt{3}$．
则$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}$?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）?$\overrightarrow{c}$=$\sqrt{3}$?$\sqrt{3}$cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞≤3．
当且仅当$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$同向共线，可得最大值3．
故选：D．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查余弦函数的有界性，属于中档题．