Question

2．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E，M分别是线段BC，CC₁，AB的中点，AA₁=2AB=4．
（1）求证：DE∥平面A₁MC；
（2）求点B到面MA₁C的距离．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁，设O为A₁C，AC₁的交点，连接OM，OE，MD，推出四边形MDEO为平行四边形，得到DE∥MO，即可证明DE∥平面A₁MC．
（2）说明三角形A₁MC是直角三角形，利用${V}_{{A}_{1}-AMC}={V}_{A-{A}_{1}MC}$，求解即可．

解答 （1）证明：如图，连接AC₁，设O为A₁C，AC₁的交点，
由题意可知O为AC₁的中点，连接OM，OE，MD，
∵MD，OE分别为△ABC，△ACC₁中的AC边上的中位线，
∴$\overrightarrow{MD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{OE}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AC}$，∴$\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{OE}$，
∴四边形MDEO为平行四边形，∴DE∥MO．
又∵DE?平面A₁MC，MO?平面A₁MC，
∴DE∥平面A₁MC．
（2）解：∵M是线段AB的中点，∴点B到面MA₁C的距离，就是点A到面MA₁C的距离，设为：h；正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB=4，可得AM=1，MA₁=$\sqrt{{4}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，CM=$\sqrt{3}$，A₁C=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，可得三角形A₁MC是直角三角形，
${V}_{{A}_{1}-AMC}={V}_{A-{A}_{1}MC}$，
可得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×4$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{17}•h$，
解得h=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．