【题目】已知椭圆C: 的长轴长为4,焦距为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴与点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点,过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、,证明
为定值.
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)(i)证明见解析;(ii)
.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意可得,椭圆C的方程为
.
(Ⅱ)(i)设,由题意可得
,结合斜率公式可得PM的斜率
,QM的斜率
,故
为定值-3.
(ii)设,直线PA的方程为
,与椭圆方程联立可得
.则
,
,同理
,故
.结合均值不等式的结论可得当且仅当
时,直线AB的斜率有最小值为
.
试题解析:
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c,
由题意知,
所以,
所以椭圆C的方程为.
(Ⅱ)(i)设,
由,可得
,
所以直线PM的斜率,
直线QM的斜率,
此时,所以
为定值-3.
(ii)设,
直线PA的方程为,
直线QB的方程为,
联立,
整理得.
由可得
,
所以,
同理,
所以,
,
所以.
由,可知
,
所以,等号当且仅当
时取得,
此时,即
,符合题意,
所以直线AB的斜率的最小值为.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的一个上界.已知函数
,
.
(1)若函数为奇函数,求实数
的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间
上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在
上是以3为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】片森林原来面积为a,计划每年砍伐森林面积是上一年末森林面积的p%,当砍伐到原来面积的一半时,所用时间是10年,已知到今年末为止,森林剩余面积为原来面积的,为保护生态环境,森林面积至少要保留原来面积的
.
(1)求每年砍伐面积的百分比p%;
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今年以后至多还能再砍伐多少年?
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直角坐标系xOy中,角α的顶点是原点,始边与x轴正半轴重合,终边交单位圆于点A,且.将角α的终边按逆时针方向旋转
,交单位圆于点B.记A(x1,y1),B(x2,y2).
(Ⅰ)若,求x2;
(Ⅱ)分别过A,B作x轴的垂线,垂足依次为C,D.记△AOC的面积为S1,△BOD的面积为S2.若S1=2S2,求角α的值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,平面ABCD⊥平面ABEF,AF∥BE,AB⊥BE,AB=BE=2,AF=1.
(Ⅰ)求证:AC⊥平面BDE;
(Ⅱ)求证:AC∥平面DEF;
(Ⅲ)求三棱锥A—DEF的体积.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】把下列演绎推理写成三段论的形式.
(1)在标准大气压下,水的沸点是100℃,所以在标准大气压下把水加热到100℃时,水会沸腾;
(2)一切奇数都不能被2整除, 是奇数,所以
不能被2整除;
(3)三角函数都是周期函数, 是三角函数,因此
是周期函数.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
(1)请将上表数据补充完整;函数的解析式为
(直接写出结果即可);
(2)根据表格中的数据作出一个周期的图象;
(3)求函数在区间
上的最大值和最小值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com