【题目】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
(1)请将上表数据补充完整;函数的解析式为
(直接写出结果即可);
(2)根据表格中的数据作出一个周期的图象;
(3)求函数在区间
上的最大值和最小值.
【答案】(1)见解析;(2)详见解析;(3)当时,
;当
时,
【解析】
(1)由表中数据可以得到的值与函数周期,从而求出
,进而求出
,即可得到函数
的解析式,利用函数解析式可将表中数据补充完整;(2)结合三角函数性质与表格中的数据可以作出
一个周期的图象;(3)结合正弦函数单调性,可以求出函数
的最值。
(1)根据表中已知数据,解得,
,
,数据补全如下表:
函数表达式为
.
(2)根据表格中的数据作出一个周期的图象见下图:
(3)令,
,则
,
则,
,可转化为
,
,
因为正弦函数在区间
上单调递减,在区间(
上单调递增,
所以,在区间
上单调递减,在区间(
上单调递增,
故的最小值为
,最大值为
,
由于时,
;
时,
,
故当时,
;当
时,
.
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【题目】已知椭圆C: 的长轴长为4,焦距为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴与点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点,过点P作x轴的垂线交C于另一点Q,延长线QM交C于点B.
(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、,证明
为定值.
(ii)求直线AB的斜率的最小值.
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【题目】已知a≥3,函数F(x)=min{2|x﹣1|,x2﹣2ax+4a﹣2},其中min(p,q)=
(1)求使得等式F(x)=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围
(2)(1)求F(x)的最小值m(a)
(3)求F(x)在[0,6]上的最大值M(a)
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【题目】某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩,分组为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],统计后得到频率分布直方图如图所示:
(1)试估计这组样本数据的众数和中位数(结果精确到0.1);
(2)年级决定在成绩[70,100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组,对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查,则在[70,80),[80,90),[90,100]这三组分别抽取了多少人?
(3)现在要从(2)中抽取的6人中选出正副2个小组长,求成绩在[80,90)中至少有1人当选为正、副小组长的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数,
),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线与
的直角坐标方程;
(2)当与
有两个公共点时,求实数
的取值范围.
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【题目】某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保费 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:
出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
频数 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值;
(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P(B)的估计值;
(3)求续保人本年度的平均保费估计值.
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【题目】对于函数,若存在实数对
,使得等式
对定义域中的任意
都成立,则称函数
是“
型函数”.
(1)若函数是“
型函数”,且
,求出满足条件的实数对
;
(2)已知函数.函数
是“
型函数”,对应的实数对
为
,当
时,
.若对任意
时,都存在
,使得
,试求
的取值范围.
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