Question

20．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁a₂=2，a₂a₃=8．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{4}$+…+$\frac{{b}_{n}}{3n-2}$=a_n+1-1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，由a₁a₂=2，a₂a₃=8．可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}q=2}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（II）由数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{4}$+…+$\frac{{b}_{n}}{3n-2}$=a_n+1-1，可得当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{4}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{3n-5}$=a_n-1，两式相减可得：$\frac{{b}_{n}}{3n-2}$=a_n+1-a_n=2^n-1，当n=1时，b₁=a₂-1=1．
可得b_n=（3n-2）•2^n-1．再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₁a₂=2，a₂a₃=8．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}^{2}q=2}\\{{a}_{1}^{2}{q}^{3}=8}\end{array}\right.$，解得q=2，a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（II）∵数列{b_n}满足$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{4}$+…+$\frac{{b}_{n}}{3n-2}$=a_n+1-1，
∴当n=1时，b₁=a₂-1=2-1=1．
当n≥2时，$\frac{{b}_{1}}{1}$+$\frac{{b}_{2}}{4}$+…+$\frac{{b}_{n-1}}{3n-5}$=a_n-1，
两式相减可得：$\frac{{b}_{n}}{3n-2}$=a_n+1-a_n=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
∴b_n=（3n-2）•2^n-1．
当n=1时上式也成立，
∴b_n=（3n-2）•2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1+4×2+7×2²+…+（3n-2）•2^n-1．
2S_n=2+4×2²+7×2³+…+（3n-5）×2^n-1+（3n-2）×2ⁿ，
∴-S_n=1+3×2+3×2²+…+3×2^n-1-（3n-2）×2ⁿ=$\frac{3×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（3n-2）×2ⁿ=（5-3n）×2ⁿ-5，
∴S_n=（3n-5）×2ⁿ+5．

点评 本题考查了递推关系的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．