已知是由满足下述条件的函数构成的集合:对任意,
① 方程有实数根;② 函数的导数满足.
(Ⅰ)判断函数是否是集合中的元素,并说明理由;
(Ⅱ)集合中的元素具有下面的性质:若的定义域为,则对于任意,都存在,使得等式成立.试用这一性质证明:方程有且只有一个实数根;
(Ⅲ)对任意,且,求证:对于定义域中任意的,,,当,且时,
(Ⅰ)函数是集合中的元素.
(Ⅱ)方程有且只有一个实数根.
(Ⅲ)对于任意符合条件的,总有成立.
解析试题分析:(Ⅰ)因为①当时,,
所以方程有实数根0;
②,
所以,满足条件;
由①②,函数是集合中的元素. 5分
(Ⅱ)假设方程存在两个实数根,,
则,.
不妨设,根据题意存在,
满足.
因为,,且,所以.
与已知矛盾.又有实数根,
所以方程有且只有一个实数根. 10分
(Ⅲ)当时,结论显然成立; 11分
当,不妨设.
因为,且所以为增函数,那么.
又因为,所以函数为减函数,
所以.
所以,即.
因为,所以, (1)
又因为,所以, (2)
(1)(2)得即.
所以.
综上,对于任意符合条件的,总有成立. 14分
考点:本题主要考查集合的概念,函数与方程,导数研究函数单调性的应用,,反证法,不等式的证明。
点评:综合题,本题综合性较强,难度较大。证明方程只有一个实根,可通过构造函数,研究其单调性实现,本解法运用的是反证法。由自变量取值,且,确定函数值的关系,关键是如何实现两者的有机转换。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知函数:.
(1) 当时①求的单调区间;
②设,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
(2) 当时,恒有成立,求的取值范围.
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(本小题满分12分)
已知对于任意实数满足,当时,.
(1)求并判断的奇偶性;
(2)判断的单调性,并用定义加以证明;
(3)已知,集合,
集合,若,求实数的取值范围.
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(本小题14分)已知函数,设。
(Ⅰ)求F(x)的单调区间;
(Ⅱ)若以图象上任意一点为切点的切线的斜率 恒成立,求实数的最小值。
(Ⅲ)是否存在实数,使得函数的图象与的图象恰好有四个不同的交点?若存在,求出的取值范围,若不存在,说名理由。
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已知其中.(1)求函数的单调区间;(2)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;
(3)当时,设函数在区间上的最大值为最小值为,记,求函数在区间上的最小值.
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(本小题满分8分)
某商店经营的消费品进价每件14元,月销售量(百件)与销售价格(元)的关系如下图,每月各种开支2000元.
(1)写出月销售量(百件)与销售价格(元)的函数关系;
(2)写出月利润(元)与销售价格(元)的函数关系;
(3)当商品价格每件为多少元时,月利润最大?并求出最大值.
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(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
已知函数=.
(1)判断函数的奇偶性,并证明;
(2)求的反函数,并求使得函数有零点的实数的取值范围.
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