Question

(本小题满分12分)
已知函数:.
(1) 当时①求的单调区间;
②设,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
(2) 当时,恒有成立,求的取值范围.

Answer 1

(1) ①在(0,1)上是减函数,在(1,3)上是增函数,(3，+∞)上是减函数.② (2)

解析试题分析：(1) ①当时,,
 
由得,得
∴在(0,1)上是减函数,在(1,3)上是增函数,(3，+∞)上是减函数.   ………3分
②“对任意,存在,使”等价于“函数在上的最小值不小于在上的最小值.         ………4分
由①知:在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数,所以,
而时,
∴ 解得: ,故实数取值范围是      ………6分
（2），
令（）.则.………7分
①当时,对,有,在上递减,
故,适合题意；  ………9分
②当时,,对,有,故在上
递增,任取,有,不合题意；     ………11分
③当时,,不合题意.
综上知,所求的取值范围是.    ………12分
考点：导数的运算；函数的单调性与导数的关系；函数的最值与导数的关系。
点评：由于导数的实际应用价值较高，因而常成为考试热点。另分步讨论问题也常出现在后面的大题中。