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(12分)定义在上的函数,当时,.且对任意的
(1)证明:
(2)证明:对任意的,恒有
(3)证明:上的增函数;
(4)若,求的取值范围。

(1)令即可证明(2)分证明即可
(3)利用单调性定义即可证明(4)

解析试题分析:(1)证明:令,又
所以.                                                                      ……2分
(2)证明:由已知当时,,由(1)得
故当时,成立,
时, ,所以
,所以,
可得
综上:对任意的,恒有成立.                                             ……6分
(3)证明:设,则


上增函数得证。                                              ……10分
(4)由,可得
又因为上增函数,所以,解得
所以:所求的取值范围.                                                     ……12分
考点:本小题主要考查抽象函数的求值,单调性,抽象不等式的求解.
点评:求解抽象函数问题,主要的方法是赋值法,证明抽象函数的单调性只能用定义,证明时要尽量化简到最简单.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

设函数,的两个极值点为,线段的中点为.
(1) 如果函数为奇函数,求实数的值;当时,求函数图象的对称中心;
(2) 如果点在第四象限,求实数的范围;
(3) 证明:点也在函数的图象上,且为函数图象的对称中心.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ)函数在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论;
(Ⅱ)当时,恒成立,求整数的最大值;
(Ⅲ)试证明:)。

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(本小题满分12分)
已知函数:.
(1) 当时①求的单调区间;
②设,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
(2) 当时,恒有成立,求的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数,.
(Ⅰ)若上为单调函数,求m的取值范围;
(Ⅱ)设,若在上至少存在一个,使得成立,求的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

.(本小题满分12分)
已知函数是常数)在x=e处的切线方程为既是函数的零点,又是它的极值点.
(1)求常数a,b,c的值;
(2)若函数在区间(1,3)内不是单调函数,求实数m的取值范围;
(3)求函数的单调递减区间,并证明:

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数时都取得极值
(1)求的值与函数的单调区间
(2)若对,不等式恒成立,求的取值范围。

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

(本小题满分13分)
已知函数是定义在上的奇函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的值域;
(Ⅲ)当时,恒成立,求实数的取值范围.

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(本小题满分13分)
已知R,函数
(1)求的单调区间;
(2)证明:当时,

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