Question

（本小题满分14分）
已知函数.
（Ⅰ）函数在区间上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当时，恒成立，求整数的最大值；
（Ⅲ）试证明：（）。

Answer 1

（Ⅰ）在区间上是减函数；（Ⅱ）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
由 

解析试题分析：（Ⅰ）由题 …………（3分）
故在区间上是减函数        …………………（4分）
（Ⅱ）当时，在上恒成立，取，则，  ……………………（6分）
再取则   …………（7分）
故在上单调递增，
而，……………（8分）
故在上存在唯一实数根，
故时，时，
故故  ……………（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令，
又

 

即：  ………………（14分）
考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，证明不等式。
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（III）通过构造函数，运用“放缩法”转化成数列“裂项相消法”求和，达到证明不等式的目的。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。