Question

x+

1

x-1

(x＞1)取得最小值a时，此时x的值为b，则asinθ-bcosθ取得最大值时，sinθ的值等于

 

．

Answer 1

分析：利用x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1≥2+1=3，求得a、b的值，再化简asinθ-bcosθ=

a2+b2

sin（θ-φ），求出最大值时θ-φ的值，利用θ与φ角之间的关系求得sinθ．

解答：解：∵x＞1，x-1＞0，∴x+

1

x-1

=（x-1）+

1

x-1

+1≥2+1=3，
当 x-1=1时，即x=2时，取“=”，
故a=3，b=2，
3sinθ-2cosθ=

13

sin（θ-φ）≤

13

，
其中0＜φ＜

π

2

，tanφ=

2

3

，
取最大值时，θ-φ=2kπ+

π

2

，k∈z，
∴sinθ=sin（2kπ+

π

2

+φ）=cosΦ=

3

13

=

3 13

13

，
故答案是

3 13

13

．

点评：本题考查了三角函数的最值，基本不等式，考查了两角和与差的正弦函数，借助确定φ角的三角函数值求sinθ的值是解答本题的关键．