Question

16．已知函数f（x）=（1+$\frac{a}{x}$）e^x的定义域为（-∞，0），其中a为常数
（1）求函数f（x）的零点
（2）求函数f（x）的单调区间
（3）当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，-$\frac{a}{2}$]上是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=（1+$\frac{a}{x}$）e^x=0得1+$\frac{a}{x}$=0，从而讨论方程是否有解即可；
（2）求导f′（x）=（1+$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）e^x=e^x$\frac{{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$，从而判断导数的正负，从而确定函数的单调区间；
（3）结合（2）知f（x）的单调增区间为（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$），单调减区间为（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，-$\frac{a}{2}$]；且$\underset{lim}{x→-∞}$（1+$\frac{a}{x}$）e^x=0，f（-$\frac{a}{2}$）=-${e}^{-\frac{a}{2}}$＜0，从而确定答案．

解答 解：（1）令f（x）=（1+$\frac{a}{x}$）e^x=0得，
1+$\frac{a}{x}$=0，
①当a≤0时，1+$\frac{a}{x}$≥1，故方程1+$\frac{a}{x}$=0无解，
②当a＞0时，x=-a；
故当a≤0时，函数f（x）在其定义域上没有零点，
当a＞0时，函数f（x）在其定义域上的零点为-a．
（2）∵f（x）=（1+$\frac{a}{x}$）e^x，
∴f′（x）=（1+$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$）e^x=e^x$\frac{{x}^{2}+ax-a}{{x}^{2}}$，
①当a≤0时，1+$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0在（-∞，0）上恒成立，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，0）；
②当a＞0时，解方程x²+ax-a=0得，
x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＞0（舍去）；
故当x∈（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$）时，f′（x）＞0，
当x∈（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，0）时，f′（x）＜0，
故f（x）的单调增区间为（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$），单调减区间为（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，0）；
（3）当a＞0时，-$\frac{a}{2}$＞$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，
故f（x）的单调增区间为（-∞，$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$），单调减区间为（$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$，-$\frac{a}{2}$]；
且$\underset{lim}{x→-∞}$（1+$\frac{a}{x}$）e^x=0，f（-$\frac{a}{2}$）=-${e}^{-\frac{a}{2}}$＜0，
故函数f（x）在区间（-∞，-$\frac{a}{2}$]上是存在最小值为-${e}^{-\frac{a}{2}}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法．