Question

4．（1）已知tan（3π+α）=3，试求$\frac{sin（α-3π）+cos（π-α）+sin（\frac{π}{2}-α）-2cos（\frac{π}{2}+α）}{-sin（-α）+cos（π+α）}$的值．
（2）已知角α的终边经过点P（-4，3），求sinαcosα+cos²α-sin²α+1的值．

Answer 1

分析 （1）原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间基本关系变形，将已知等式变形后代入计算即可求出值；
（2）利用任意角的三角函数定义求出tanα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanα的值代入计算即可求出值．

解答 解：（1）∵tan（3π+α）=tanα=3，
∴原式=$\frac{-sinα-cosα+cosα+2sinα}{sinα-cosα}$=$\frac{sinα}{sinα-cosα}$=$\frac{tanα}{tanα-1}$=$\frac{3}{3-1}$=$\frac{3}{2}$；
（2）∵角α的终边经过点P（-4，3），
∴sinα=$\frac{3}{\sqrt{（-4）^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{3}{5}$，cosα=-$\frac{4}{\sqrt{（-4）^{2}+{3}^{2}}}$=-$\frac{4}{5}$，即tanα=-$\frac{3}{4}$，
则原式=$\frac{sinαcosα+2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{tanα+1}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{-\frac{3}{4}+1}{\frac{9}{16}+1}$=$\frac{4}{25}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及任意角的三角函数定义，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键．